バイオ理系の水槽: 水温概算関数の導出

ど～も。

最近太ってきました、NaCです。

スーパーで鮮魚コーナーを見ていると、

魚のアラがよく安く売っているので、

つい買いこんでしまい、

アラ炊きを作ってしまいます。

結果食べ過ぎるという。。。

今回は、

水温概算関数の導出についてです。

かなり久しぶりに理系っぽくなっています笑

前回、

早見表のような何かを記事にして終わりましたが、

今回はその求め方です。

かなり理屈っぽい内容ですので、

軽く読み飛ばす程度でいいかと思います。

○　水温概算関数の導出　　

まずは基本的な考え方から。

水などの物質の温度上昇について考える時、

「比熱」または「熱容量」という概念を用います。

比熱とは記号 \(c\) で示されることの多く、

物質 1 g の温度を 1°C 上昇させるときに必要なエネルギー量で単位はJ / g・K で表されます。(※1)

熱容量とは比熱に質量をかけた数値で、記号は \(C\) で表されることが多いです。

ある物質の温度を1°C 上昇させるのに必要なエネルギー量を表し、単位はJ / K で表されます。

水の場合、

比熱 \(c\) は、4.218 J / g・K なので、

1 g の水の温度を 1 K (= 1 °C) 上昇させるのに、

4.218 J 必要だということになります。

水に対してお湯を加えた場合、

お湯のもっているエネルギーが水に加わることによって温度が上昇すると考えます。

以上が基本的な考え方です。

※補足1

K はケルビンと読んで絶対温度の単位。

273 K = 0 °C

で、

絶対温度が1 K変化すると、

セルシウス温度の1 °C変化する。

単純に考えて、

セルシウス温度 (°C) + 273 = 絶対温度 (K)

となります。

○　数値の定義と考え方　　

実際に求める前に数値の定義と考え方を。

温度 \(t_{1}\) (°C)、体積 \(v_{1}\) (L) の水\(_{1}\)と

温度 \(t_{2}\) (°C)、体積 \(v_{2}\) (L) の水\(_{2}\)を

混合する場合を考えます。

水の比熱を \(c\) (J / g・K)、

水は1 mL = 1 g で換算します。

その場合、

水\(_{1}\)と水\(_{2}\)のエネルギー量 \(Q_{1}\) (J)、\(Q_{2}\) (J) は

\(Q_{1}=c \times (t_{1}+273) \times v_{1} \times 1000\)

\(Q_{2}=c \times (t_{2}+273) \times v_{2} \times 1000\)

となります。 (※2)

温度 \(t\) (°C) に "273" を足しているのは、

単位を °C から K に変換するため。

体積 \(v\) (L) に "1000" をかけているのは、

単位を L から mL = g に変換するためです。

さて、

水\(_{1}\)と水\(_{2}\)を混合したとき、

温度が何度になるかを考えます。

これは、

頭だけで考えると間違えやすいので、

図に書いて考えてみます。

こういう考え方を面積図といいます。

長方形の横の長さを体積、

縦の長さを (比熱×温度) とすると、

長方形の面積が水のもっているエネルギーになります。

図1　面積図での考え方　その1

または、

図2　面積図での考え方　その2

どちらの考え方でも同じ答えが得られますが、

図1のほうが計算が楽なので、

図1の考え方に基づいて解いていきます。

時間があって、暇で暇でしょうがない人は、

図2で解いてみてもいいかもしれません。

※補足2

物理化学的に精密に議論する場合、

物質が持っているエネルギーは内部エネルギーUによって定義されます。

\(\varDelta U=Q-W\)

この場合、

Q は物質に加えられた熱エネルギーを、

W は物質がした「仕事」を表します。

この物理学における「仕事」という概念がまたややこしいのですが、

簡潔にいうと、

物体が動いたりしてエネルギー消費した場合、

その物体は「仕事をした」といいます。

例えば、

半分くらいピストンを押し込んだ空の注射器を温めると、

空気の膨張によってピストンが押し出されます。

この場合、

注射器の中の空気はピストンを押すという「仕事」をしたと考えます。

物体に熱エネルギー等を与えた場合のエネルギー増加量は、

この仕事を加味しないといけないので、

(仕事をした分、エネルギーが減るため)

内部エネルギーという概念を導入し、

\(\varDelta U=Q-W\)

式が示す通り、

加えた熱エネルギー量から仕事分を引いたものをエネルギーの増加量としています。

今回の場合、

お湯を加えることによって水の体積はほとんど膨張しないので、

仕事は無視できるほど小さいとみなし、

\(W = 0\)

と近似しています。

そのため、

加えた熱エネルギー量と内部エネルギー増加量が等しいとしています。

○　水温概算関数の導出　　

長くなってきましたがが最後まで行きます。

それでは、
水\(_{1}\)と水\(_{2}\)を混ぜ合わせたあとの水について、

水温　\(T\) (°C)、体積 \(V\) (L) とすると、

図1の考え方から、

\begin{align} c \times T&=\frac{\{c \times (t_{1}+273)-c \times (t_{2}+273)\} \times v_{1} \times 1000}{v_{1}\times 1000+v_{2}\times 1000}+c \times t_{2} \\ &=\frac{ct_{1}v_{1}-ct_{2}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}+ct_{2} \\ &=\frac{ct_{1}v_{1}-ct_{2}v_{1}+ct_{2}v_{1}+ct_{2}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}\\ &=\frac{ct_{1}v_{1}+ct_{2}v_{2}}{v_{1}+v_{2}} \end{align}

両辺、\(c\) で割ると、

\[ T=\frac{t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}}{v_{1}+v_{2}} \]

(1)

さて、

ここで、変数について確認しておきます。

今回の目的は、

水を「何°C」に合わせるためには、

お湯を「何 L」入れればいいのかを知りたいので、

水 \(_{1}\) をお湯とすると、

今回の関数の変数は、\(T\) と \(v_{1}\) となります。

ここで、

\(V = v_{1}+v_{2}\)

より、

\(v_{2}=V-v_{1}\)

(1) 式から \(v_{2}\) を消去すると、

\[ T=\frac{t_{1}v_{1}+t_{2}(V-v_{1})}{V} \]

これを\(v_{1}\) について解くと、

\begin{align} TV &=t_{1}v_{1}+t_{2}V-t_{2}v_{1} \\ (t_{1}-t_{2})v_{1} &=TV-t_{2}V \end{align}
\[ v_{1}=\frac{V}{t_{1}-t_{2}}T-\frac{t_{2}V}{t_{1}-t_{2}} \]

(2)

すなわち、

x軸を\(T\) 、y軸を\(v_{1}\) とした場合、

傾きが\(\frac{V}{t_{1}-t_{2}}\)、y切片が\(\frac{t_{2}V}{t_{1}-t_{2}}\)の一次関数になります。

(2) 式だけみると結構複雑にみえますね。

水温4°C、20 L 作製する場合をグラフにしてみました。